Biblioteche, esagoni e Pi Greco

Nel suo racconto La Biblioteca di Babele, Jorge Luis Borges descrive una biblioteca che

si compone di un numero indefinito, e forse infinito, di gallerie esagonali, con vasti pozzi di ventilazione nel mezzo, circondati da ringhiere bassissime. Da qualunque esagono, si vedono i piani inferiori e superiori: interminabilmente. La distribuzione delle gallerie è invariabile. Venti scaffali, cinque lunghi scaffali per lato, coprono tutti i lati tranne due; […]. Una delle facce libere dà su uno stretto atrio, che sbocca in un’altra galleria, identica alla prima e a tutte. […]. Da lì passa la scala a chiocciola, che si inabissa e si eleva verso lo spazio remoto.

Borges, oltre che essere un grande scrittore, era uno che coi suoi racconti sapeva farti fumare il cervello e La Biblioteca di Babele ne è un esempio chiarissimo, per la quantità di domande e riflessioni che genera.

Che forma ha davvero la Biblioteca?

Sembra una domanda semplice, in fondo c’è scritto nel racconto come è fatta, no? Come al solito, però, le cose sono più complicate perché tradurre le indicazioni dell’autore in un progetto che funzioni davvero è più difficile di quel che sembra.

Lasciando stare tutte le possibili ricostruzioni della Biblioteca, quello che colpisce subito una persona che conosce un po’ di geometria o di cristallografia, è la forma delle gallerie.

Come Borges sapeva, e come sanno anche le api e i produttori di matite, si può ricoprire un piano senza lasciare spazi vuoti e senza fare sovrapposizioni solo con alcuni poligoni regolari, cioè: triangoli, quadrati ed esagoni. Qualsiasi altro poligono regolare lascerebbe dei vuoti o andrebbe a sovrapporsi coi suoi vicini.
(Si possono fare ricoprimenti con poligoni non regolari, come i rettangoli, o con altre figure piane. Qui un articolo d’esempio).

Sì, ma il pi greco?

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679…

Lo so cosa state pensando: sono impazzito e sto dando i numeri. Tranquilli, non sto dando i numeri, ma il numero, quello sopra infatti è il valore di pi greco troncato alla centesima cifra decimale.

OK, il pi greco è un numero importantissimo, serve per calcolare area e perimetro del cerchio, compare nella formula di Eulero e in costanti fisiche fondamentali, ma che c’entra con esagoni e biblioteche?

Ora ci arrivo.
Il pi greco è un numero irrazionale, cioè con un numero infinito di decimali non periodici, e trascendente, cioè non è soluzione di nessuna equazione polinomiale, ma forse possiede anche un’altra interessante proprietà, quella di essere un numero normale.

Un numero è normale se ogni cifra o gruppo di cifre nei suoi decimali compare con la stessa frequenza di qualsiasi altro della stessa lunghezza, cioè, più semplicemente, se penso a un numero, diciamo 5, e guardo le cifre decimali, troverò che il 5 compare 1/10 delle volte; se penso a una coppia di numeri, comparirà con una frequenza di 1/(10×10)=1/100 delle volte rispetto alle altre coppie; se penso a una terna, la sua probabilità di comparire sarà 1/(10x10x10)=1/1000, e così via.
Detto in altri termini, in un numero normale non ci sono gruppi di cifre che compaiono più spesso di altri lunghi uguali.
Un numero, per essere normale, deve quindi:

1. avere un numero infinito di decimali;
2. non essere periodico.

Cioè deve essere un numero irrazionale.

Analizzando i 50.000 miliardi di cifre di pi greco calcolate finora, sembra che sia normale, ma non lo si può ancora dimostrare in modo rigoroso. Per questo ho scritto forse.

E il collegamento con la Biblioteca?

Borges, nel suo racconto scrive:

…Non ci sono, nella vasta Biblioteca, due libri identici. Da quelle premesse incontrovertibili dedusse che la Biblioteca è totale e che i suoi scaffali registrano tutte le combinazioni possibili della ventina di simboli ortografici […], cioè tutto ciò che è dato esprimere: in tutte le lingue. Tutto: […], la traduzione di ogni libro in tutte le lingue, le interpolazioni di ogni libro in tutti i libri, il trattato che Beda avrebbe potuto scrivere (e non scrisse) sulla mitologia dei sassoni, i libri perduti di Tacito.

Lo vedete il collegamento? Se fosse un numero normale, il pi greco, nei suoi infiniti decimali, conterrebbe qualsiasi sequenza di numeri possibili, ogni combinazione esistente. Associando a ogni lettera un numero, dentro il pi greco si potrebbe trovar ogni libro scritto, da scrivere o che si sarebbe potuto scrivere, la traduzione di ogni libro in tutte le lingue, le interpolazioni di ogni libro in tutti i libri (qui si può fare una ricerca sui primi 2 miliardi di decimali). Insomma, quel piccolo numerino che comincia con 3.14 contiene al suo interno tutta la sterminata Biblioteca di Babele.

E buon giorno del pi greco a tutti!

Alessandrini, Paolo. 2019. Matematica rock: storie di musica e numeri dai Beatles ai Led Zeppelin. Milano: Hoepli.
Borges, Jorge Luis. 2015. Finzioni. Milano: Adelphi.
Bloch, William Goldbloom. 2008. The unimaginable mathematics of Borges’ Library of Babel. Oxford ; New York: Oxford University Press.
Giovannoli, Renato. 2015. Come costruire la Biblioteca di Babele: a dispetto degli errori di Borges. Milano: Medusa.